"Theory of Duality" (KMMF) Seminar

Przedstawię przeglądowy wykład na temat regularności rozwiązań układównieliniowych równań eliptycznych, takich jak równania powierzchni ozadanej średniej krzywiźnie lub odwzorowania harmoniczne in-harmoniczne w zwarte rozmaitości riemannowskie. Powiem trochę ohistorii problemu i omówię znane wyniki, od artykułów Richarda Schoenai Karen Uhlenbeck, które ukazały się 40+ lat temu, poprzez prace F.Heleina na temat odwzorowań harmonicznych na płaszczyźnie (jeden zwykładów ICM'1998), aż po najnowsze wyniki A. Schikorry i moichmłodych współpracowników, M. Miśkiewicza i B. Petraszczuka.Przedstawię również nowy, właśnie opublikowany przykład, autorstwaPetraszczuka, który udowodnił, że pewien konkretny, stosunkowo prostyukład dwóch równań eliptycznych na płaszczyźnie (z kwadratowąnieliniowością) - rozważany już przez Jensa Frehsego w 1973 r. - manastępującą zaskakującą własność: dla dowolnego zbioru zwartego K wdysku istnieje ograniczone słabe rozwiązanie o pochodnych całkowalnychz kwadratem, które jest nieciągłe w każdym (!) punkcie K, a gładkiewszędzie poza K. Co ciekawe, to rozwiązanie jest dane konkretnymwzorem, jako granica pewnego ciągu funkcyjnego; N-ty wyraz tego ciąguto rozwiązanie, które ma N punktowych osobliwości w zadanych punktachzbioru K.Na koniec przedstawię kilka pytań otwartych. Postaram się, żeby wykładbył przystępny dla słuchaczy ze stosunkowo niewielkim przygotowaniemmatematycznym.