"Theory of Duality" (KMMF) Seminar

Przedstawimy struktury geometryczne: grupoidy i algebroidy Banacha-Liego oraz grupoidy poissonowskie związane w sposób kanoniczny z dowolną $W^*$-algebrą $\mathfrak{M}$ (algebrą von Neumanna). Pokażemy również, że standardowa realizacja $(\mathfrak{M},\mathcal{H},J,\mathcal{P})$ $W^*$-algebry odpowiada naturalnej foliacji przestrzeni Hilberta $\mathcal{H}$ wyposażonej w bogatszą strukturę $\tilde{\mathcal{H}}$ rozmaitości Banacha. Opiszemy strukturę $(\tilde{\mathcal{H}}, \tilde{\omega})\rightrightarrows\mathfrak{M}^+_*$ grupoidu presymplektycznego nad przestrzenią stanów normalnych $\mathfrak{M}^+_*$ algebry von Neumanna $\mathfrak{M}$. Pokażemy, że grupoid Banacha-Liego $(\tilde{\mathcal{H}}, \tilde{\omega})\rightrightarrows\mathfrak{M}^+_*$ jest izomorficzny z grupoidem działania $\mathcal{U}(\mathfrak{M})*\mathfrak{M}_*^+\rightrightarrows\mathfrak{M}^+_*$, gdzie $\mathcal{U}(\mathfrak{M})\rightrightarrows \mathcal{L}(\mathfrak{M})$ jest grupoidem Banacha-Liego częściowych izometrii nad kratą projekcji ortogonalnych $\mathcal{L}(\mathfrak{M})$.

---

We investigate some genuine Poisson geometric objects in the modular theory of an arbitrary von Neumann algebra $\mathfrak{M}$. Specifically, for any standard form realization $(\mathfrak{M},\mathcal{H},J,\mathcal{P})$, we find a canonical foliation of the Hilbert space $\mathcal{H}$, whose leaves are Banach manifolds that are weakly immersed into~$\mathcal{H}$, thereby endowing $\mathcal{H}$ with a richer Banach manifold structure to be denoted by~$\widetilde{\mathcal{H}}$. We also find that $\widetilde{\mathcal{H}}$ has the structure of a Banach-Lie groupoid $\widetilde{\mathcal{H}}\rightrightarrows\mathfrak{M}_*^+$ which is isomorphic to the action groupoid $\mathcal{U}\mathfrak{M})\ast\mathfrak{M}_*^+\rightrightarrows\mathfrak{M}_*^+$ defined by the natural action of the Banach-Lie groupoid of partial isometries $\mathcal{U}(\mathfrak{M})\rightrightarrows\mathcal{L}(\mathfrak{M})$ on the positive cone in the predual $\mathfrak{M}_*^+$, where $\mathcal{L}(\mathfrak{M})$ is the projection lattice of $\mathfrak{M}$. There is also a presymplectic form $\widetilde{\omega}\in\Omega^2(\widetilde{\mathcal{H}})$ that comes fom the scalar product of $\mathcal{H}$ and is multiplicative in the usual sense of finite-dimensional Lie groupoid theory. We further show that the groupoid $(\widetilde{\mathcal{H}},\widetilde{\omega})\rightrightarrows \mathfrak{M}_*^+$ shares several other properties of finite-dimensional presymplectic groupoids and we investigate the Poisson manifold structures of its orbits as well as the leaf space the foliation defined by the degeneracy kernel of the presymplectic form $\widetilde{\omega}$.