Seminarium KMMF "Teoria Dwoistości"

W pierwszej części wykładu przedstawimy powiązania między różnymi definicjami chaosu. Spróbujemy wyjaśnić różnicę między chaosem dla układów skończenie i nieskończenie wymiarowych i czy chaos w istocie występuje tylko w układach nieliniowych. W szczególności zwrócimy uwagę na podejście stochastyczne do chaosu wykorzystujące aparat miar niezmienniczych [1]. W przypadku, gdy układ dynamiczny działa na przestrzeni nieskończenie wymiarowej, a tak jest w przypadku układów dynamicznych generowanych za pomocą równań cząstkowych, miary niezmiennicze będą otrzymywane z miar wienerowskich. Następnie zaprezentujemy model układu krwiotwórczego działającego w szpiku kostnym, w którym występują jednocześnie procesy dojrzewania i podziału komórek prowadzące od komórek niezróżnicowanych do dojrzałych komórek wprowadzanych do krwioobiegu. W modelu tym interesują nas gęstości rozkładu dojrzałości komórek. Otrzymujemy układ dynamiczny działający na gęstościach na odcinku [0,1], a więc w podzbiorze przestrzeni L^1[0,1]. Okazuje się, że układ ten jest chaotyczny, a dowód chaosu oparty jest na zastosowaniu metody miar niezmienniczych [2]. Zaprezentowany przykład jest o tyle zaskakujący, że do tej pory nie znaliśmy chaotycznego układu dynamicznego działaj±cego na gęstościach.[1] R. Rudnicki, Chaos for some infinite-dimensional dynamical systems, Math. Meth. Appl. Sci. 27 (2004), 723-738.[2] R. Rudnicki, Chaoticity of the blood cell production system, Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 19 (2009), 043112, 1--6.