Seminarium KMMF "Teoria Dwoistości"

Równania Weia–Normana są równoważne równaniu ewolucji na grupie Liego i w niektórych przypadkach pozwalają znaleźć rozwiązanie. Okazuje się, że w przypadku równań na prostej klasycznej grupie Liego, równania Weia–Normana mogą być zredukowane do hierarchii macierzowych równań Riccatiego. Redukcję tę można uzyskać wybierając odpowiednio generatory algebry Liego i kolejność ich eksponentów w podstawieniu Weia–Normana. Przypadek grupy unitarnej jest szczególnie istotny z punktu widzenia mechaniki kwantowej. Dla tego przypadku rozpatruje się kompleksyfikację grupy unitarnej i jej algebrę Liego sl(|N;|C). Wyniki te nie uogólniają się na wszystkie proste algebry Liego, w szczególności na algebrę wyjątkową g₂.

The non-linear autonomous Wei–Norman equations are equivalent to a linear system of non-autonomous equations on a Lie group and in some cases provide a method to find the solution. In case of all classical simple Lie groups, they can be reduced to a hierarchy of matrix Riccati equations. This is achieved by an appropriate choice of generators of the Lie algebra and of the order of their exponentials in the solution provided by the Wei–Norman method. The unitary case, of particular significance for quantum optimal-control problems, fits into this scheme by considering the complexification of the unitary group and its Lie algebra sl(|N;|C). The result cannot be extended to all simple Lie algebras, in particular to the exceptional algebra g₂.