Seminarium KMMF "Teoria Dwoistości"

Chodzi o przedstawienie (czy też: zapisanie) funkcji całkowitej eksponujące jej miejsca zerowe - na wzór klasycznego zapisu [Eulera] sinusa w postaci iloczynu czynników: z oraz (1 - z^2/n^2). (Ten zapis doprowadził Eulera do zsumowania szeregu \sum 1/n^2.) Otóż miejsca zerowe sinusa bardzo przejrzyście, liniowo oddalają się od 0. Dla funkcji o takich - lub jeszcze szybciej oddalających się od 0 - zerach, rozkłady w iloczyn nieskończony były już znane w drugiej połowie XVIII wieku; tym bardziej były już znane Cauchy'emu. Duży problem stanowiły funkcje, których zera rosły co do modułu wolno, np jak |z|^{1/N}. Odpowiednie iloczyny nieskończone stawały się wtedy rozbieżne. Weierstrass w swoich berlińskich wykładach w latach 1860-ch podał rozstrzygający pomysł. Wprowadził - tylko i aż - czynniki uzbieżniające iloczyny nieskończone - tzw. czynniki pierwsze Weierstrassa - które przy tym nowych zer nie dorzucały. Udowodnię jego twierdzenie, a następnie je zastosuję: wyprowadzę ten słynny rozkład sinusa, wraz z kilkoma niespodziewanymi wnioskami. W drugiej części, na ważnym przykładzie funkcji sin(z) - z*cos(z) pokażę, jak twierdzenie Weierstrassa ściśle się splata z trochę późniejszym twierdzeniem Mittag-Lefflera o rozkładaniu funkcji meromorficznej w szereg ułamków prostych. Doprowadzi nas to do zsumowania szeregu \sum 1/(\lambda_n)^2, \lambda_n - dodatnie pierwiastki równania tg(x) = x, BEZ rachunku residuów. (Ten szereg, choć w istocie klasyczny, był sporym wyzwaniem na Wydziale MIM w połowie lat 1970-ch.)