Exact Results in Quantum Theory

Poszukiwanie nieobciążonych estymatorów dla regresji liniowej - gdzie chcemy dopasować funkcję liniową do danego zbioru pomiarów — to jedno z najstarszych zagadnień w statystyce. Klasyczne twierdzenie Gaussa-Markowa pokazuje że metoda najmniejszych kwadratów to optymalne rozwiązanie tego problemu, ale jedynie przy silnych założeniach dotyczących szumu pomiarowego. Czy jest możliwe zdefiniowanie nieobciążonego estymatora dla regresji liniowej w najogólniejszym modelu losowym bez założeń o rozkładzie szumu pomiarowego? Pokażę że jest to możliwe poprzez zastosowanie metody najmniejszych kwadratów do zbioru danych wzbogaconego o mały zestaw dodatkowych pomiarów wygenerowany przy użyciu pewnego wyznacznikowego procesu punktowego. Uzyskany w ten sposób estymator jest pierwszym użytecznym nieobciążonym estymatorem dla tego ogólnego modelu i jest on prosty do skonstruowania dla wielu praktycznych problemów. Jako przykład, zaprezentuję zastosowanie powyższych rezultatów do zagadnienia optymalnego doboru eksperymentów.

Finding unbiased estimators for linear regression — where we wish to fit a linear function to a set of noisy measurements — is one of the oldest tasks in statistics. The classical Gauss-Markov theorem shows that the least squares estimator is the optimal solution for this problem under a set of strong assumptions regarding the data and measurement noise. Is it possible to construct an unbiased estimator for general random design linear regression without any assumptions on the measurement noise? I will show that it is possible by applying the least squares estimator to the dataset augmented by a small sample of additional measurements, generated from a certain determinantal point process. The obtained estimator is the first useful unbiased estimator for random design regression, and it can be efficiently constructed in many practical settings. As an example, we will show how this technique can be utilized in the context of experimental design.