Seminarium "Nieliniowość i Geometria"

Aproksymacja funkcji analitycznych funkcjami wymiernymi była przedmiotem badań Eulera, Jacobiego, Frobeniusa, ..., Padego, ...Już Frobenius badał relacje pomiędzy elementami tablicy indeksowanej stopniami licznika i mianownika różnych funkcji wymiernych "najlepiej" aproksymujących daną funkcję. Uzyskane przez niego równania zawierają m.in. równanie łańcucha Tody z dyskretnym czasem (Hirota 1977). Poprzez związki aproksymant Padego z wielomianami ortogonalnymi równanie to pojawia się w wielu dziedzinach fizyki matematycznej i matematyki stosowanej. Naturalne jest pytanie o rolę w tej teorii dyskretnego równania KP (Hirota 1981, Miwa 1982). Szukanie odpowiedzi prowadzi do prac Hermite'a (którego doktorantem był Pade) dotyczących dowodu przestępności liczby Eulera. Pojawiające się tam aproksymanty, nazywane aproksymantami Hermite'a-Padego prowadzą do tzw. wielomianów wielortogonalnych mających zastosowania m.in. w teorii macierzy losowych. Odpowiednie równania (oczywiście całkowalne) są redukcją dyskretnego równania KP.